Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）在下图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹不写作法），并证明四边形ABED是菱形．
（2）若∠ABC=60°，EC=2BE．求证：ED⊥DC．

Answer

（1）根据尺规作图：角的平分线的基本作法，可得到∠BAD的平分线AE；利用菱形的判定定理，即可证得；
（2）根据直角三角形的性质定理，可得△EDC是直角三角形，即可得ED⊥DC．
证明：（1）在△ABE与△ADE中，
∵，
∴△ABE≌△ADE，
∴∠AEB=∠AED，
∵AD∥BE，
∴∠AEB=∠DAE，
∴∠BAE=∠AED，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ADBE为菱形；

（2）取EC的中点F，连接DF．

∵四边形ABED是菱形，
∴EC=2BE=2DE=2EF=2CF，∠CED=∠ABC=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DF=EF=CF，∠DFE=60°，
∴∠CDF+∠C=∠DFE=60°=2∠C
即∠C=30°
∴∠EDC=90°
即ED⊥DC．