Question

把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．
（1）求证：△BHE≌△DGF；
（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长．

Answer

（1）先根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC，再由图形折叠的性质得出∠ABH=∠EBH，∠FDG=∠CDG，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，进而可得出△BEH≌△DFG；
（2）先根据勾股定理得出BD的长，进而得出BF的长，由图形翻折变换的性质得出CG=FG，设FG=x，则BG=8-x，再利用勾股定理即可求出x的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，
∵△BEH是△BAH翻折而成，
∴∠ABH=∠EBH，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，
∵△DGF是△DGC翻折而成，
∴∠FDG=∠CDG，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，
∴∠DBH=∠ABD，∠BDG=∠BDC，
∴∠DBH=∠BDG，
∴△BEH与△DFG中，
∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠DBH=∠BDG，
∴△BEH≌△DFG，

（2）【解析】
∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，
∴BD===10，
∵由（1）知，FD=CD，CG=FG，
∴BF=10-6=4cm，
设FG=x，则BG=8-x，
在Rt△BGF中，
BG2=BF2+FG2，即（8-x）2=42+x2，解得x=3，即FG=3cm．