Question

已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

Answer

（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）从当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；
（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，
∴，
解得：，
∴y=x2-x+3；
∴点C的坐标为：（0，3）；

（2）假设存在，分两种情况：
①当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠PAB=90°，
如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，设D为y轴上的点，
∵A（3，0），B（4，1），
∴AM=BM=1，
∴∠BAM=45°，
∴∠DAO=45°，
∴AO=DO，
∵A点坐标为（3，0），
∴D点的坐标为：（0，3），
∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：
∴0=3k+b，b=3，
∴k=-1，
∴y=-x+3，
∴y=x2-x+3=-x+3，
∴x2-3x=0，
解得：x=0或3，
∴y=3，y=0（不合题意舍去），
∴P点坐标为（0，3），
∴点P、C、D重合，
②当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形，且∠PBA=90°，
如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，
由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，
∴∠DBF=45°，
∴DF=4，
∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），
∴直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：
∴1=4k+b，b=5，
∴k=-1，
∴y=-x+5，
∴y=x2-x+3=-x+5，
∴x2-3x-4=0，
解得：x1=-1，x2=4（舍），
∴y=6，
∴P点坐标为（-1，6），
∴点P的坐标为：（-1，6），（0，3）；

（3）如图3：作EM⊥AO于M，
∵直线AB的解析式为：y=x-3，
∴tan∠OAC=1，
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠OAF=45°，
∴AC⊥AF，
∵S△FEO=OE×OF，
OE最小时S△FEO最小，
∵OE⊥AC时OE最小，
∵AC⊥AF
∴OE∥AF
∴∠EOM=45°，
∴MO=EM，
∵E在直线CA上，
∴E点坐标为（x，-x+3），
∴x=-x+3，
解得：x=，
∴E点坐标为（，）．