Question

如图，正方形ABCD中，E是AD边上一点，且BE=CE，BE与对角线AC交于点F，连接DF，交EC于点G．
（1）求证：∠ABF=∠ADF；
（2）求证：DF⊥EC．

Answer

（1）根据正方形的性质及SAS定理可求出△DAF≌△BAF，再根据相似三角形的性质即可解答；
（2）先根据HL定理求出△DAF≌△BAF，∠AEB=∠DEC，再根据（1）的结论可求出∠ADF+∠DEC=90°，即DF⊥EC．
证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∠BAC=∠DAC，AB=AD，
又∵AF=AF，
∴△DAF≌△BAF，
∴∠ADF=∠ABF；

（2）Rt△ABE和Rt△CDE中，
BE=CE，AB=CD，
Rt△ABE≌Rt△CDE，
∠AEB=∠DEC，
由（1）知，
∠ABE=∠ADF，
∠ABE+∠AEB=90°，
∠ADF+∠DEC=90°，
∠DGE=180°-90°=90°，
DF⊥EC．