Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．

Answer

（1）根据菱形的性质得CD=AD，∠CDP=∠ADP，证明△CDP≌△ADP即可；
（2）由菱形的性质得CD∥BA，可证△CPD∽△FPB，利用相似比，结合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可证A为BF的中点，又PA⊥BF，从而得出PB=PF，已证PA=CP，把问题转化到Rt△PAB中，由勾股定理，列方程求解．
（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，
∴△CDP≌△ADP，
∴∠DCP=∠DAP；

（2）【解析】
∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥BA，CD=BA，
∴△CPD∽△FPB，
∴===，
∴CD=BF，CP=PF，
∴A为BF的中点，
又∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
由（1）可知，PA=CP，
∴PA=PB，在Rt△PAB中，
PB2=22+（PB）2，
解得PB=，
则PD=，
∴BD=PB+PD=2．