Question

如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（-4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d₁，点P到点A的距离为d₂，试说明d₂=d₁+1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

Answer

（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把B（-4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C点坐标（3，5）；
（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1=a2，又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=a2-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2=a2+1，
即有结论d2=d1+1；
（3）△PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，得到△PAC的周长的最小值=5+6=11．
【解析】
（1）设抛物线的解析式：y=ax2，
∵拋物线经过点B（-4，4），
∴4=a•42，解得a=，
所以抛物线的解析式为：y=x2；
过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，
∴OD=AD+OA=5，
∴C点坐标为（3，5）；

（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，
∵点P在抛物线y=x2上，
∴b=a2，
∴d1=a2，
∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=a2-1，PF=a，
在Rt△PAF中，PA=d2==
=a2+1，
∴d2=d1+1；

（3）作直线y=1，过C点作y=1 的垂线，交抛物线于P点，则P即为所求的点．
由（1）得AC=5，
∴△PAC的周长=PC+PA+5
=PC+PH+6，
要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，
∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=x2，得到y=，
即P点坐标为（3，），此时PC+PH=5，
∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．