Question

在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，并且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为y（cm²），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x为何值时，△EDQ为直角三角形？

Answer

（1）可根据PE∥DC，来得出关于AE，AD，AP，AC的比例关系，AD可根据勾股定理求出，那么就能用x表示出AE的长，进而可表示出DE的长；
（2）求三角形EDQ的面积可以QD为底边，以PC为高来求，QD=BD-BQ，而BQ可根据Q的速度用时间表示出来，那么也就能用x表示出QD，而PC就是AC-AP，有了底和高，就可以根据三角形的面积公式得出关于x，y的函数关系式；
（3）因为∠ADB是钝角，因此要想使三角形EDQ是直角三角形，那么Q就必须在CD上，可分两种情况进行讨论：
①当∠EQD=90°时，四边形EPCQ是个矩形，那么EQ=PC，DQ=BQ-BD，根据EQ∥AC可得出关于EQ，AC，DQ，DC的比例关系从而求出x的值．
②当∠DEQ=90°时，可用PC和∠DAC的正弦值来表示出EQ，然后用相似三角形EQD和ABC，得出关于EQ，AC，DQ，AD的比例关系，从而求出x的值．
【解析】
（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，
∴AD=5，
∵EP∥DC，
∴△AEP∽△ADC
∴=，
即=，
∴EA=x，
DE=5-x；

（2）∵BC=5，CD=3，
∴BD=2，
当点Q在BD上运动x秒后，DQ=2-1.25x，
则y=×DQ×CP=（4-x）（2-1.25x）=x2-x+4，
即y与x的函数解析式为：y=x2-x+4，
其中自变量的取值范围是：0＜x＜1.6；

（3）分两种情况讨论：
①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-x，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴=，
即=，
解得x=2.5
②当∠QED=90°时，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴=，即=，
解得x=3.1．
综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形．