Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到S与t之间的函数关系式．
（2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．
在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t．
（3）根据相似三角形对应边成比例可列式求出t，从而根据正切的定义求出值．
（4）首先假设存在，然后再根据相似三角形对应边成比例求证．
【解析】
（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12．
∵QB=16-t，
∴S=×12×（16-t）=96-6t（0≤t＜16）；

（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ．
在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，
解得t=；
②若BP=BQ．
在Rt△PMB中，BP2=（16-2t）2+122．
由BP2=BQ2得：（16-2t）2+122=（16-t）2
即3t2-32t+144=0．
由于△=-704＜0，
∴3t2-32t+144=0无解，
∴PB≠BQ．
③若PB=PQ．
由PB2=PQ2，得t2+122=（16-2t）2+122
整理，得3t2-64t+256=0．
解得t1=，t2=16（舍去）
综合上面的讨论可知：当t=秒或t=秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．

（3）如图，由△OAP∽△OBQ，得．
∵AP=2t-21，BQ=16-t，
∴2（2t-21）=16-t．
∴t=．
过点Q作QE⊥AD，垂足为E．
∵PD=2t，ED=QC=t，
∴PE=t．
在Rt△PEQ中，tan∠QPE=．
又∵AD∥BC，
∴∠BQP=∠QPE，
∴tan∠BQP=；

（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD．
如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．
∵AD∥BC
∴∠BQF=∠EPQ，
又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°，
∴∠BQF=∠BDC，
∴∠BDC=∠EPQ，
又∵∠C=∠PEQ=90°，
∴Rt△BDC∽Rt△QPE，
∴，即．
解得t=9．
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD．