Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB延长线上一点，且BD=BC，CE⊥CD交AB于E．
（1）求证：△ACE∽△ADC；
（2）若BE：EA=3：2，求sin∠A的值．

Answer

（1）欲证△ACE∽△ADC，只要找出两个三角形的两个对应角相等即可得证，利用BD=BC，可得∠DCB=∠D，又利用等角的余角相等，即可得出∠D=∠ACE，且∠A为公共角，即可得证．
（2）结合题意，易证∠BCE=∠BEC，且BE=BC．又因为BE：EA=3：2，设BE=3k，EA=2k，在△ABC中，∠ACB=90°，可分别得出BC=3k，AB=5k，利用三角函数关系即可得出sin∠A=．
【解析】
（1）∵BD=BC，
∴∠DCB=∠D．（1分）
又∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠D=∠DCB=∠ACE，（2分）
又∵∠A=∠A，（1分）
∴△ACE∽△ADC．（1分）

（2）∵∠DCB+∠BCE=90°，∠D+∠DEC=90°，又∠DCB=∠D，
∴∠BCE=∠BEC，（1分）
∴BE=BC．（1分）
又BE：EA=3：2，令BE=3k，EA=2k，（1分）
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3k，AB=5k，（1分）
∴sin∠A=．（1分）