Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切．
（1）求证：OB⊥OC；
（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O₁与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O₁的面积．

Answer

（1）证明两个锐角的和等于90°即可；
（2）求得⊙O1的半径后代入圆的面积公式求得其面积即可．
（1）证明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切，
∴AB，BC，CD均与半圆O相切，
∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．
又∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．
∴2∠CBO+2∠BCO=180°，
于是∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=180°-90°=90°，
即OB⊥OC．

（2）【解析】
设CD切⊙O1于点M，连接O1M，则O1M⊥CD．
设⊙O1的半径为r．
∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O1CM，
∴∠O1CM=30°．
在Rt△O1CM中，CO1=2r，O1M=r．
在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12．
∵⊙O1与半圆O外切，
∴OO1=6+r，于是，
由OO1+O1C=OC，即6+r+2r=12，
解得r=2，
因此⊙O1的面积为4π．