Question

某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y₁（千克）与x的关系为y₁=-x²+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y₂（千克）与t的关系为y₂=at²+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：

t	1	2	3
y2	21	44	69

（1）求a、b的值；
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？
（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？
（说明：毛利润=销售总金额-进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）

Answer

（1）根据表中的数据代入y2=at2+bt后，得到关于a，b的二元一次方程，从而可求出解．
（2）设干果用n天卖完，根据两个关系式和干果共有1140千克可列方程求解．然后用售价-进价，得到利润．
（3）设第m天乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，从而可列出不等式求解．
【解析】
（1）根据表中的数据可得
．
答：a、b的值分别是1、20；

（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．
-n2+40n+n2+20n=1140
n=19，
当n=19时，y1=399，y2=741，
毛利润=399×8+741×6-1140×6=798（元），
答：卖完这批干果获得的毛利润是798元．

（3）设从第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，则甲、乙级干果的销售量为m天的销售量减去m-1天的销售量，
即甲级水果第m天所卖出的干果数量：（-m2+40m）-[-（m-1）2+40（m-1）]=-2m+41．
乙级水果第m天所卖出的干果数量：（m2+20m）-[（m-1）2+20（m-1）]=2m+19，
（2m+19）-（-2m+41）≥6，
解得：m≥7，
答：第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．