Question

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，-3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为    ．经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为    ．

Answer

首先根据题意确定出A、B、D点的坐标．假设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．从图中可看到抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、D，联立组成方程组，解得a、b、c的值，抛物线解析式即可确定．
首先根据M、半径确定出“蛋圆”半圆部分的解析式．再求得C点的坐标，根据C、M点坐标确定出直线CM的斜率，进而根据两直线垂直，斜率之积是-1．求得经过点C的“蛋圆”的切线的斜率，进而确定出切线的解析式．
【解析】
由题意得A（-1，0）、B（3，0）、D（0，-3）
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、D
∴可列出方程组，
解得c=-3、a=1、b=-2，
该抛物线的解析式为y=x2-2x-3．

∵半圆的圆心M（1，0），半径为2，
∴圆的解析式为半圆的解析式为（x-1）2+y2=4 （y≥0），
设点C的坐标为（0，k），
∵点C在半圆上，
∴1+k2=4，解得k=
即C点的坐标为（0，），
则直线CM的解析式斜率为，
因而过点C圆M切线的解析式斜率为=
故经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为y-=，
即y=．