Question

已知，如图，在直角坐标系内，△ABC的顶点在坐标轴上，关于x的方程x²-4x+m²-2m+5=0有实数根，并且AB、AC的长分别是方程两根的5倍．
（1）求AB、AC的长；
（2）若tan∠ACO=，P是AB的中点，求过C、P两点的直线解析式；
（3）在（2）问的条件下，坐标平面内是否存在点M，使以点O、M、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）原方程转化为两个完全平方式的和，从而求出方程两根，进一步求出AB、AC的长；
（2）根据三角函数先求出C、P两点的坐标，再用待定系数法求出C、P两点的直线解析式；
（3）点M的坐标有四个．
【解析】
（1）方法一：
∵x2-4x+m2-2m+5=0，
（x-2）2+（m-1）2=0
∴x=2，m=1，
x2-4x+4=0，
x1=x2=2
AB=AC=10
方法二：
∵方程有实数根
∴△=-（m-1）2≥0
∴（m-1）2≤0而（m-1）2≥0
∴m=1
∴x1=x2=2
∴AB=AC=10

（2）yCP=-

（3）M1（3，4），M2（9，-4），M3（-9，4）．