Question

根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论．
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°

①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．

①作图：
②猜想：
③验证：

Answer

（1）①痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）两类方法均可，
②利用各角之间的关系得出∠A+∠B=90°；
③可根据△ABC中，∠A=24°，∠B=66°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．
（2）①痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可．
②利用各角之间的关系得出∠B=3∠A；
③利用特殊角∠A=24°，∠B=72°，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．
【解析】
（1）①作图：痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）两类方法均可，
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求（2分）
②猜想：∠A+∠B=90°，（4分）
③验证：如在△ABC中，∠A=24°，∠B=66°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．（5分）

（2）答：①作图：痕迹能体现作线段AB的垂直平分线，或作∠ABD=∠A．
在边AC上找出所需要的点D，则直线BD即为所求（6分）
②猜想：∠B=3∠A（8分）
③验证：如在△ABC中，∠A=24°，∠B=72°，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．（9分）．