Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B₁，顶点为D₁，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB₁的面积是△NDD₁面积的2倍，求点N的坐标．

Answer

（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；
（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．
【解析】
（1）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），
∴，
解得，
∴所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2；（2分）

（2）∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），（3分）
当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，
可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2），
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．
∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（5分）

（3）∵点N在y=x2-3x+1上，可设N点坐标为（x，x2-3x+1），
将y=x2-3x+1配方得y=（x-）2-，
∴其对称轴为直线x=．（6分）
①0≤x≤时，如图①，
∵，
∴
∵x=1，
此时x2-3x+1=-1，
∴N点的坐标为（1，-1）．（8分）
②当时，如图②，
同理可得，
∴x=3，
此时x2-3x+1=1，
∴点N的坐标为（3，1）．
③当x＜0时，由图可知，N点不存在，
∴舍去．
综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）．（10分）