Question

在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=4，BD：DC=1：2，将Rt△ABD绕点A逆时针旋转90°，得△AEF，E、F分别是B、D的对应点，FE（或延长线）交BC（或延长线）于H，过点C作CG∥AD交AF（或延长线）于G，设BD=x（x＞0）．

（1）如图①，当点E恰好落在边AC上时，求BD的长；
（2）如图②，若点F在AG上，试讨论以F为圆心，FE长为半径的⊙F与CG所在直线的位置关系；
（3）求当时，以A、D、C、E四点为顶点的四边形面积S关于x的表达式．

Answer

（1）根据旋转的性质，可得△AEF≌△ABD，易证△AEF∽△ACG，根据比例的性质，表示各量，可解答；
（2）由F在AG上，可得2x≥4，FG=2x-4，当FG=EF，FG＞EF，FG＜EF分类讨论其位置关系；
（3）根据当0＜x≤2和2＜x＜时，EF与CG的位置关系，结合四边形ADCE的形状，分类求其解析式，解答出即可；
（1）证明：如图①，
∵△AEF是由△ABD绕点A逆时针旋转90°所得，
∴△AEF≌△ABD，
∴∠ADB=∠AFE=90°，
∴AD∥CG∥EF，
由已知，E在AC上，
∴△AEF∽△ACG，
∴，
由AF=4，AG=2x，EF=x，CG=4，
∴解得，
∴BD=2；

（2）【解析】
如图②，
∵F在AG上，
∴2x≥4即x≥2，FG=2x-4，由已知CG⊥AF，
∴当FG=EF时，即2x-4=x，x=4，
∴当x=4时，⊙F与CG所在直线相切，
当2≤x＜4时，⊙F与CG所在直线相交，
当x＞4时，⊙F与CG所在直线相离；

（3）

①如图③，
当0＜x≤2时，AG=DC=2x＜AF=4，
∴G在AF上
∴S四边形ADCE=S矩形ADHF-S△AEF-S△CHE，
=16-×4x-（4-x）（4-2x），
=16-2x-8+6x-x2，
=-x2+4x+8；
②当2＜x＜时，AG=DC=2x＞AF，
∴G在AF延长线上，
S四边形ADCE=S梯形ADHE+S△HCE，
=（4+4-x）×4+（2x-4）（4-x），
=16-2x-x2+6x-8，
=-x2+4x+8；
综上，S四边形ADCE=-x2+4x+8（0＜x＜2）．