Question

已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．
（1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为______；
（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长．

Answer

（1）易证△DBE∽△CAE，通过相似比，可得出结论；
（2）通过作辅助线，过点B作BM⊥DC于M，证明△BME≌△ACE，可证得结论；
（3）过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，设BF=a，在直角三角形BFN中，用a分别表示出BN、FN的长，利用勾股定理得出DF，再通过证明△BME≌△ACE，△BGF∽△DGH，利用相似比求得FG、DG、BG，然后，根据△DKG和△DBG关于直线DG对称，证得△BGF∽△DGH，利用相似比得出GH、BH，求出a的值，从而求出CE的长．
（1）【解析】
∵∠DBC=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACB=180°，
∴AC∥BD，
∴∠DBE=∠CAE
右∵∠DEB=∠AEC，
∴△DBE∽△CAE，
∴=，
又∵BD=BC=2AC，
∴DE=2CE；
故答案为DE=2CE．

（2）证明：如图2，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，
∴∠D=∠BCD=30°，∴∠ACD=90°，
过点B作BM⊥DC于M，则DM=MC，BM=BC，
∵AC=BC，∴BM=AC，
∵在△BME和△ACE中

∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=CM，
∴DE=3EC；

（3）【解析】
如图，过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，
设BF=a，
∵∠DBF=120°，
∴∠FBN=60°，
∴FN=a，BN=a，
∵DB=BC=2BF=2a，∴DN=DB+BN=a，
∴DF===a，
∵AC=BC，BF=BC，
∴BF=AC，
∴△BDF≌△BCA（SAS），
∴∠BDF=∠CBA，
又∵∠BFG=∠DFB，
∴△FBG∽△FDB，
∴==，
∴BF2=FG×FD，
∴a2=a×FG，
∴FG=a，
∴DG=DF-FG=a，BG==a，
∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，
∴∠GDH=∠BDF，
∴∠ABC=∠GDH，
又∵∠BGF=∠DGH，
∴△BGF∽△DGH，
∴=，
∴GH==a，
∵BH=BG+GH=a=10，
∴a=2；
∴BC=2a=4，
CM′=BCcos30°=2，
∴DC=2CM′=4，
∵DE=3EC，
∴EC=DC=．