Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+9-b²（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E．其顶点M在第一象限．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DE⊥x轴于点C．
①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；
②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；
③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断井说明理由．

Answer

（1）已知抛物线过原点，代入求得b值而求出二次函数解析式；
（2）设A点横坐标为m，则＞m＞0，AB=3m-m2，BC=3-2m，矩形ABCD的周长=-2m2+2m+6．
①根据线段AB、BC的长都是整数个单位长度及＞m＞0，确定m的值，从而求出矩形ABCD的周长；
②将-2m2+2m+6配方，根据二次函数的性质，得出矩形ABCD的周长的最大值，并求出此时点A的坐标；
③将矩形ABCD的周长取得最大值时的m的值代入它的面积表达式AB•BC=（3m-m2）（3-2m）中，计算出其值为2.5，然后在＞m＞0的范围内找到一个m=时，矩形ABCD的面积=2.53125＞，从而得到当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值．
【解析】
（1）由题意，代入原点到二次函数解析式
则9-b2=0，
解得b=±3，
由题意抛物线的对称轴大于0，
，
所以b=3，
所以解析式为y=-x2+3x；

（2）设A点横坐标为m，则＞m＞0，
AB=3m-m2，BC=2（-m）=3-2m，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（-m2+m+3）=-2m2+2m+6．
①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，则
3m-m2＞0且为整数，3-2m＞0且为整数，
∴m=1．
∴矩形ABCD的周长=-2m2+2m+6=6；
②∵矩形ABCD的周长=-2m2+2m+6=-2（m2-m）+6=-2（m2-m+-）+6=-2（m-）2+，
∴当m=时，有最大值=，
此时点A的坐标为（，）；
③当矩形ABCD的周长取得最大值时，m=，
此时，矩形ABCD的面积=AB•BC=（3m-m2）（3-2m）=，不是最大值．
∵当m=时，矩形ABCD的面积=（3m-m2）（3-2m）=1.6875×1.5=2.53125＞．
∴当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值．