Question

如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E₁OF₁（如图2）．
（1）探究AE₁与BF₁的数量关系，并给予证明；
（2）当α=30°时，求证：△AOE₁为直角三角形．

Answer

（1）利用旋转不变量找到相等的角和线段，证得△E1AO≌△F1BO后即可证得结论；
（2）利用已知角，得出∠GAE1=∠GE1A=30°，从而证明直角三角形．
（1）【解析】
AE1=BF1．
证明：∵O为正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，
∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，
∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1
∴OE1=OF1，
∵∠F1OB=∠E1OA，OA=OB，
∴△E1AO≌△F1BO，
∴AE1=BF1；

（2）证明：∵取OE1中点G，连接AG，
∵∠AOD=90°，α=30°，
∴∠E1OA=90°-α=60°，
∵OE1=2OA，
∴OA=OG，
∴∠E1OA=∠AGO=∠OAG=60°，
∴AG=GE1，
∴∠GAE1=∠GE1A=30°，
∴∠E1AO=90°，
∴△AOE1为直角三角形．