Question

如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y=（x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y=（x＞0）和y=-（x＜0）于点M、N．
（1）求m的值和直线l的解析式；
（2）若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S_△AMN=4S_△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将点B的坐标代入即可得出m的值，设直线l的解析式为y=kx+b，再把点A、B的坐标代入，解方程组求得k和b即可得出直线l的解析式；
（2）根据点P在直线y=2上，求出点P的坐标，再证明△PMB∽△PNA即可；
（3）先假设存在，利用S△AMN=4S△AMP．求得p的值，看是否符合要求．
（1）【解析】
∵B（2，1）在双曲线y=（x＞0）上，
∴m=2，
设直线l的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线l的解析式为y=x-1；

（2）证明：∵点P（p，p-1）（p＞1），点P在直线y=2上，
∴p-1=2，
解得p=3，
∴P（3，2），
∴PM=2，PN=4，PA=2，PB=，
∵∠BPM=∠APN，PM：PN=PB：PA=1：2，
∴△PMB∽△PNA；

（3）【解析】
存在实数p，使得S△AMN=4S△AMP．
∵P（p，p-1）（p＞1），
∴点M、N的纵坐标都为p-1，
将y=p-1代入y=和y=-，
得x=和x=-，
∴M、N的坐标分别为（，p-1），（-，p-1），
①当1＜p＜2时，
MN=，PM=-p，
∵S△AMN=MN×（p-1）=2，S△AMP=MP×（p-1）=-p2+p+1，
S△AMN=4S△AMP，
∴2=4×（-p2+p+1），
整理，得p2-p-1=0，
解得：p=，
∵1＜p＜2，
∴p=，
②当p＞2时，
MN=，PM=p-，
∵S△AMN=MN×（p-1）=2，S△AMP=MP×（p-1）=p2-p-1，
S△AMN=4S△AMP，
∴2=4×（p2-p-1），
整理，得p2-p-3=0，解得p=，
∵p大于2，
∴p=，
∴存在实数p=或使得S△AMN=4S△AMP．