Question

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm²，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；
（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；
（3）过点E作BC的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；
（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，又AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
由图形折叠的性质可知，AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；

（2）【解析】
∵四边形AECF是菱形，
∴AF=AE=10cm，
设AB=a，BF=b，
∵△ABF的面积为24cm2，
∴a2+b2=100，ab=48，
∴（a+b）2=196，
∴a+b=14或a+b=-14（不合题意，舍去），
∴△ABF的周长为14+10=24cm；

（3）【解析】
存在，过点E作BC的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；
证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAO，
∴△AOE∽△AEP，
∴=，
∴AE2=AO•AP，
∵四边形AECF是菱形，
∴AO=AC，
∴AE2=AC•AP，
∴2AE2=AC•AP．