Question

如图，有两块板材边角料．其中一块是正方形木板；另一块是平行四边形木板．王师傅想将这两块木板加工两块全等的矩形木板．他将两块木板叠放在一起，发现正方形的一组对边与平行四边形的一组对边恰好重叠（如图所示），这两块木板的重叠部分为五边形ABFHD围成的区域，测得AE=50cm，EF=60cm，点B是线段EF的中点．由于受木料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点A为一个顶点．
（1）写出正方形ABCD的边长；
（2）求DH的长；
（3）设裁出的矩形木板为矩形APMN，点P、N分别在边AD、AB上，边AP为x cm．当x为多少时，矩形APMN的面积最大？最大面积是多少？

Answer

（1）由AE=50cm，EF=60cm，点B是线段EF的中点，可得，在直角△ABE中，BE=30cm，利用勾股定理可得出AB的长即正方形ABCD的边长；
（2）由EF=AG=60cm，AD由（1）得出，可得出GD的长，易证△ABE∽△HDG，所以，=，代入数值即可得出；
（3）当AP=BF，N、M分别和B、F重合时，矩形APMN的面积最大，S矩形APMN=AP×AN，AP=BF，解答出即可．
【解析】
（1）∵AE=50cm，EF=60cm，点B是线段EF的中点，
∴BE=30cm，
∴AB=40cm；

（2）∵∠E=∠G，∠ABE=∠HEG，
∴△ABE∽△HDG，
∴=，即=，
得，DH=cm；

（3）当AP=BF，N、M分别和B、F重合时，
即，AP=BF=30cm时，矩形APMN的面积最大，
S矩形APMN=AP×AN=30×40=1200cm2；
答：（1）正方形ABCD的边长是40cm；
（2）DH的长是cm；
（3）AP=30cm时，矩形APMN的面积最大，最大面积是1200cm2．