Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一点，且CE=8，BC=12，CD=4，∠C=30°，∠B=60°．点P是线段BC边上一动点（包括B、C两点），设PB的长是x．
（1）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形．
（2）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．
（3）P在BC上运动时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形．

Answer

（1）如图，分别过A、D作BC的垂线，垂足分别为F、G，容易得到AF=DG，AD=FG，而CD=4，∠C=30°，由此可以求出CG=6，DG=AF=2，又∠B=60°，BF=2，若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，则∠APC=90°或∠DPC=90°，那么P与F重合或P与G重合，根据前面求出的长度即可求出此时的x的值；
（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，由于AD=BE=4，且AD∥BE，有两种情况：①当点P与B重合时，利用已知条件可以求出BP的长度；②当点P在CE中点时，利用已知条件也可求出BP的长度；
（3）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（1）（2）知，当BP=0或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边证明它们相等即可证明它是菱形．
【解析】
（1）分别过点A、D作BC的垂线，垂足分别为F、G．
∵∠C=30°，且CD=，
∴DG=2，CG=6，
∴DG=AF=2，
∵∠B=60°，
∴BF=2．
∵BC=12，
∴FG=AD=4，（2分）
显然，当P点与F或点G重合时，
以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形．
所以x=2或x=6；（2分）

（2）∵AD=BE=4，且AD∥BE，
∴当点P与B重合时，
即x=0时．点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，（2分）
又∵当点P在CE中点时，EP=AD=4，且EP∥AD，
∴x=8时，点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（2分）

（3）由（1）（2）知，∵∠BAF=30°，
∴AB=2BF=4，
∴x=0时，且PA=AD，
即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形．（1分）
∵AB=BE，且∠B=60°，
∴△ABE为正三角形．
∴AE=AD=4．
即当x=8时，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形，
∴当BP=0或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形．（1分）