Question

如图，一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OB=．且点B横坐标是点B纵坐标的2倍．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A横坐标为m，△ABO面积为S，求S与m的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

Answer

（1）根据点B的横坐标是点B的纵坐标的2倍，且OB=，结合勾股定理，即可求出B点的坐标，从而求出反比例解析式；
（2）在（1）的基础上，当A点的横坐标已知的情况下，A点的纵坐标也可求出，把A、B的坐标代入一次函数解析式中，利用待定系数法，可求出解析式，从而可求出直线与坐标轴的交点．
再进一步利用求和的方法，求三角形ABO的面积时，可列出等量关系，从而得出函数解析式．
【解析】
（1）设点B的纵坐标为t，则点B的横坐标为2t．
根据题意，得（2t）2+t2=（）2，
∵t＜0，
∴t=-1．
∴点B的坐标为（-2，-1）．
设反比例函数为y=，得
k1=（-2）×（-1）=2，
∴反比例函数解析式为y=．

（2）设点A的坐标为（m，）．
根据直线AB为y=kx+b，可以把点A，B的坐标代入，
得，解得．
∴直线AB为y=．
当y=0时，=0，
∴x=m-2，
∴点D坐标为（m-2，0）．
∵S△ABO=S△AOD+S△BOD，
∴S=×|m-2|×+×|m-2|×1，
∵m-2＜0，＞0，
∴S=，
∴S=．
且自变量m的取值范围是0＜m＜2．