Question

如图，已知二次函数y=ax²+2x+3的图象与x轴交于点A、点B（点B在X轴的正半轴上），与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数关系式为y=kx+3，又tan∠OBC=1，
（1）求a、k的值；
（2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点P（点P与点B、C补重合），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由．

Answer

（1）根据直线y=kx+3与y轴相交于点C，得C（0，3），由tan∠OBC=1可求得点B（3，0）；所以a=-1，即y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，顶点D（1，4），代入一次函数可知k=1．
（2）在y轴上取一点F（0，-3），则OF=OC=3，由对称性可知：∴∠CBF=90°，设直线BF与二次函数y=-x2+2x+3的图象交于点P，由（1）知B（3，0），直线BF的函数关系式为y=x-3，联立方程组求解可得点P（-2，-5），所以存在点P（1，4）或P（-2，-5），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形．
【解析】
（1）由直线y=kx+3与y轴相交于点C，得C（0，3）
∵tan∠OBC=1
∴∠OBC=45°∴OB=OC=3
∴点B（3，0）（1分）
∵点B（3，0）在二次函数y=ax2+2x+3的图象上
∴9a+6+3=0（2分）
∴a=-1（3分）
∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4
∴顶点D（1，4）（4分）
又∵D（1，4）在直线y=kx+3上
∴4=k+3
∴k=1
即：a=-1，k=1．（5分）

（2）在二次函数y=-x2+2x+3的图象上存在点P，使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形（6分）
由（1）可知，直线y=x+3与x轴的交点为E（-3，0）
∴OE=OC=3
∴∠CEO=45°
∵∠OBC=45°
∴∠ECB=90°（7分）
∴∠DCB=90°
∴△DCB是以BC为一条直角边的直角三角形，且点D（1，4）在二次函数的图象上，则点D是所求的P点（8分）
方法一：设∠CBP=90°，点P在二次函数y=-x2+2x+3的图象上，则△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形，
∵∠CBO=45°
∴∠OBP=45°设直线BP与y轴交于点F，则F（0，-3）
∴直线BP的表达式为y=x-3（9分）
解方程组
得或
由题意得，点P（-2，-5）为所求．
综合①②，得二次函数y-x2+2x+3的图象上存在点P（1，4）或
P（-2，-5），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形（10分）
方法二：在y轴上取一点F（0，-3），则OF=OC=3，由对称性可知，
∠OBF=∠OBC=45°
∴∠CBF=90°设直线BF与二次函数y=-x2+2x+3的图象交于点P，由（1）知B（3，0），
∴直线BF的函数关系式为y=x-3（以下与方法一同）（9分）
解方程组
得或
由题意得，点P（-2，-5）为所求．
综合①②，得二次函数y-x2+2x+3的图象上存在点P（1，4）或
P（-2，-5），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形．