Question

九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践--应用--探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
I．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在x轴 上．设矩形ABCD的周长为l求l的最大值．
II•如图④，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出当x=2时，正好是汽车宽度，求出即可；
（3）I．首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
II•利用等腰直角三角形的性质得出QN=AB=AO，以及P在y=x的图象上，即可得出P点的坐标．
【解析】
（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，
代入顶点式得：
y=a（x-5）2+6.25，
∴0=a（10-5）2+6.25，
解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）2+6.25；

（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴10-3×2=4，
4÷2=2，
∴x=2代入解析式得：
y=-0.25（2-5）2+6.25；
y=4，
4-3.5=0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；

（3）I．假设AO=x，可得AB=10-2x，
∴AD=-0.25（x-5）2+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：l=2[-0.25（x-5）2+6.25]+2（10-2x）=-0.5x2+x+20，
∴l的最大值为：==20.5．
II•当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5=，
解得：m=5±，
当∠P3NQ3=90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴，
当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，P3Q3=2Q3K1，P3Q3=--x，
Q3K1=5-x，
Q点在OM的下方时，P4Q4=2Q4K2，P4Q4=x-（-），
Q4K2=x-5，
∴x2-x+10=0，
解得：x1=4，x2=10，
P3（4，4），P4（10，10）
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：
（5-，5-）或（5+，5+）或（4，4）或（10，10）．