Question

已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线，在上任取一点C（点C与A，B不重合），过点C作CD⊥AB于D，E是CD的中点，连接BE并延长交AP于点F，连接CF．
（1）当点C是的中点时（如图1），求证：直线CF是半圆O的切线；
（2）当点C不是的中点时（如图2），试猜想直线CF与半圆O的位置关系，并证明你的猜想．

Answer

（1）通过证明△FCE≌△BDE证得FC⊥OC即可判定切线；
（2）连接AC，OC，BC并延长交AP于点G，证得∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠FAC+∠OAC=90°即可．
（1）证明：∵C是的中点，且CD⊥AB．
∴D与圆心O重合，即OC⊥AB．
又E是CD的中点，∴OE=EC
又∵AP是⊙O的切线，∴AP⊥AB，∴OC∥AP．
由于O是AB的中点，
∴E是BF的中点，即BE=EF．
在△FCE和△BDE中，OE=CE，BE=FE，∠BED=∠FEC．
∴△FCE≌△BDE，
∴∠FCE=∠BDE=90°，即FC⊥OC，
∴CF是半圆O的切线．

（2）猜想：直线CF是半圆O的切线．
证明如下：连接AC，OC，BC并延长交AP于点G．
则AC⊥GB，∠OAC=∠OCA．
∵CD⊥AB，∴CD∥AP，
∴．
又∵CE=ED，
∴AF=FG．
又∵∠ACG=90°，
∴FC=FA，
∴∠FCA=∠FAC．
∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠FAC+∠OAC=90°，
即OC⊥CF．
∴CF是半圆O的切线．