Question

如图，一条抛物线经过原点，且顶点B的坐标（1，-1）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与x轴正半轴的交点为A，求证：△OBA为等腰直角三角形；
（3）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C，请你在抛物线位于x轴上方的图象上求两点E、F，使△ECF为等腰直角三角形，且∠ECF=90°．

Answer

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-1，将O（0，0）点坐标代入抛物线解析式即可；
（2）先求出A点坐标，再根据勾股定理OB2+AB2=OA2即可证明△OBA为等腰直角三角形；
（3）过C作CE∥BO，CF∥AB，找出等腰直角三角形△ECF，再根据已知条件取出E、F两点坐标．
（1）【解析】
由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-1，
则0=a（0-1）2-1，
∴a=1．（2分）
∴y=（x-1）2-1，
即y=x2-2x．（3分）

（2）证明：当y=0时，x2-2x=0解得x=0或x=2．
∴A（2，0）（4分）
又B（1，-1），O（0，0），
∴OB2=2，AB2=2，OA2=4．
∴OB2+AB2=OA2
∴∠OBA=90°，且OB=BA．
∴△OBA为等腰直角三角形．（6分）

（3）【解析】
如图，过C作CE∥BO，CF∥AB，分
别交抛物线于点E、F，过点F作FD⊥X轴于D，
则∠ECF=90°，EC=CF，FD=CD．
∴△ECF为等腰直角三角形．（7分）
令FD=m＞0，则CD=m，OD=1+m
∴F（1+m，m）（8分）
∴m=（1+m）2-2（1+m），
即m2-m-1=0．解得m=
∵m＞0，
∴m=．
∴F（）．
∵点E、F关于直线x=1对称，
∴E=（）．（10分）