Question

如图，点P在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2PA，PC切⊙O于点C，连接BC．
（1）求∠P的正弦值；
（2）若⊙O的半径r=2cm，求BC的长度．

Answer

（1）连接OC，则PC⊥OC，又AB=2PA，则有OC=AO=AP=PO，于是∠P=30°，可证sin∠P=；
（2）连接AC，证得△CAO是正三角形，那么CA=r=2，再根据勾股定理可求得CB的长．
【解析】
（1）连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC
又∵AB=2PA
∴OC=AO=AP=PO
∴∠P=30°
∴sin∠P=；
（或：在Rt△POC，sin∠P=）

（2）连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠COA=90°-30°=60°，
又∵OC=OA，
∴△CAO是正三角形．
∴CA=r=2，
∴CB=．