Question

如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，4）、（m，0），且AO=AB．
（1）求m的值；
（2）设P是边OB上的一个动点，过点P的直线l平分△AOB的周长，交△AOB的另一边于点Q．试判断由l及△AOB的两边围成的三角形的面积s是否存在最大（或最小）值？若存在，求出其值，说明此时所围成的三角形的形状，并求直线l的解析式；若不存在，说明理由．

Answer

（1）作AD⊥x轴于D，则交点D的坐标为（3，0），根据等腰三角形的性质得出OB=2OD即可求出；
（2）根据勾股定理求出OA，设点P的坐标为（x，0），则PB=6-x，①当点Q在AB上时，PB+QB=（AO+AB+OB）=8，求出QB=x+2，作QE⊥x轴，交点为E，证Rt△ABD∽Rt△QBE，得出，求出，根据三角形的面积公式即可求出面积的最大值和等腰三角形QPB，即可得出P、Q的坐标，设l的解析式为y=k1x+b1，ba P、Q的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线1；当Q在AO上时，由对称性可知，当x=4时，S最大值=，求出点P、Q的坐标，设直线1的解析式是y=k2x+b2，把P、Q的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可．
【解析】
（1）作AD⊥x轴于D，则交点D的坐标为（3，0），
∵AO=AB，
∴OB=2OD=6，即m=6，
答：m的值是6．

（2）【解析】
在Rt△AOD中，AO=，
设点P的坐标为（x，0），则PB=6-x，
①当点Q在AB上时，
PB+QB=（AO+AB+OB）=8，即QB=x+2，
作QE⊥x轴，交点为E，
∵∠ABD=∠QBE，∠ADB=∠QEB，
∴Rt△ABD∽Rt△QBE，
∵，即，
∴S=，
当x=2时，S最大值=，
此时PB=QB=4，即△QPB是等腰三角形，
∴点P、Q的坐标分别为（2，0），（）
设l的解析式为y=k1x+b1，
∴，
∴，
即l：y=2x-4；
②当Q在AO上时，
∵OA=AB，
∴点Q与①中的点Q关于直线AD对称，
由对称性可知，同法可求，当x=4时，S最大值=
此时OP=OQ=4，△QOP是等腰三角形．
此时，点P、Q的坐标分别为（4，0）、
设l的解析式为y=k2x+b2
∴，
∴，
即l：y=-2x+8，
答：由l及△AOB的两边围成的三角形的面积s存在最大值，其值是，此时所围成的三角形的形状是等腰三角形，直线l的解析式是y=2x-4或y=-2x+8．