Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer

（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，直接把点D，E代入解析式利用待定系数法即可求得直线DE的解析式，先根据矩形的性质求得点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求得其横坐标即可；
（2）利用点M求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可；
（3）满足条件的最内的双曲线的m=4，最外的双曲线的m=8，所以可得其取值范围．
【解析】
（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，
∵点D，E的坐标为（0，3）、（6，0），
∴，
解得k=-，b=3；
∴；
∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为2；
又∵点M在直线上，
∴2=；
∴x=2；
∴M（2，2）；

（2）∵（x＞0）经过点M（2，2），
∴m=4；
∴；
又∵点N在BC边上，B（4，2），
∴点N的横坐标为4；
∵点N在直线上，
∴y=1；
∴N（4，1）；
∵当x=4时，y==1，
∴点N在函数的图象上；

（3）当反比例函数（x＞0）的图象通过点M（2，2），N（4，1）时m的值最小，当反比例函数（x＞0）的图象通过点B（4，2）时m的值最大，
∴2=，有m的值最小为4，
2=，有m的值最大为8，
∴4≤m≤8．