Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，
（Ⅰ）求∠AOD的度数；
（Ⅱ）若AO=8cm，DO=6cm，求OE的长．

Answer

（1）由切线长定理知：OD平分∠ADC，OA平分∠BAD；根据平行线的性质即可求出∠AOD的度数；
（2）在Rt△AOD中，根据勾股定理可求出AD的长，OE是Rt△AOD斜边上的高，根据直角三角形的面积就可以求出OE的长．
【解析】
（Ⅰ）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°；
∵⊙O内切于梯形ABCD，
∴AO平分∠BAD，有∠DAO=∠BAD，
DO平分∠ADC，有∠ADO=∠ADC，
∴∠DAO+∠ADO=（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠AOD=180°-（∠DAO+∠ADO）=90°；

（Ⅱ）∵在Rt△AOD中，AO=8cm，DO=6cm，
∴由勾股定理，得cm，
∵E为切点，
∴OE⊥AD，则有∠AEO=90°，
∵S△AOD=OD•OA=AD•OE；
∴OE==4.8cm．