Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且满足6a-3b=2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ²（cm²）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S=时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）从图上可知抛物线经过点A、B点，结合已知条件可以求得A、B、C点的坐标，即可得出解析式；
（2）根据勾股定理和已知条件，可以求得PB、BQ的长度，即可求出S与运动时间t之间的函数关系式（0≤t≤1）；
（3）首先根据S的值，求出t的值，继而求出P、Q点的坐标，然后分情况讨论：假设存在这样的R点，①R在BQ的右边，②R在BQ的左边③R在PB的下方，根据平行四边形的性质求出R点的坐标，代入抛物线解析式，看能否使等式成立，能的话，这种情况就存在．
【解析】
（1）据题意知：抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，-2），点B（2，-2），
而且6a-3b=2
则，
解得，
∴抛物线的解析式为：；

（2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
则S=PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2，
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
∴当S=时，5t2-8t+4=，
得20t2-32t+11=0，
解得t=，t=（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，-）；
若R点存在，分情况讨论：
[A]假设R在BQ的右边，这时QRPB，则，R的横坐标为3，R的纵坐标为-
即R（3，-），代入，左右两边相等，
∴这时存在R（3，-）满足题意．
[B]假设R在BQ的左边，这时PRQB，则：R的横坐标为1，纵坐标为-，
即（1，-），代入，左右两边不相等，R不在抛物线上．
[C]假设R在PB的下方，这时PRQB，则：R（1，-）代入，，
左右不相等，
∴R不在抛物线上．
综上所述，存在一点R（3，-）满足题意．