Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：
（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；
（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；
（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．

Answer

（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B′的坐标，设直线BB′的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；
（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；
（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论．
【解析】
（1）∵四边形OABC是矩形，
∴B（3，1），
根据题意，得B′（-1，3）
把B（3，1），B′（-1，3）代入y=mx+n中，，
解得
∴m=-，n=
∴此一次函数的解析式为：y=-x+，
∴N（0，），M（5，0）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
把C′（-1，0），N（0，），M（5，0）代入得：，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+；

（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，
∵O、P关于直线MN对称，
∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，
∵N（0，），M（5，0），
∴MN===，OE===，
∴OP=2OE=2，
∴OP==2①，
PM==5②，
①②联立，解得，
把x=2代入二次函数的解析式y=-x2+2x+得，y=，
∴点P不在此二次函数的图象上；

（3）①在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，
所以，二次项系数和一次项系数不变，
根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，
新解析式就为：y=-x2+2x；
②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-，
这时根据已经求出的C′（-1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，
所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6，0），
代入解出解析式为y=-x2-3x；
③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合，此时另一点过（6，0），
所以解出解析式为y=-x2+3x．