Question

已知如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，点O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦O₁C交AB于D，交⊙O₁于E．
求证：（l）O₁A²=O₁D•O₁C；   （2）BE平分∠ABC．

Answer

（1）由01A=O1B，根据等弧所对的圆周角相等，即可求得∠O1AB=∠O1CA，又由∠AO1C=∠DO1A，则可证得△AO1C∽△DO1A，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得O1A2=O1D•O1C；
（2）由∠ADO1=∠CDB，∠O1AB=∠O1CB，易得∠AO1D=∠ABC，又由同弧所对的圆周角等于它对圆心角的一半，即可求得∠ABC=2∠ABE，则可得BE平分∠ABC．
证明：（1）∵01A=O1B，
∴∠ACO1=∠BCO1，
∵∠O1AB=∠O1CB，
∴∠O1AB=∠O1CA，
∵∠AO1C=∠DO1A，
∴△AO1C∽△DO1A，
∴，
∴O1A2=O1D•O1C；

（2）∵∠ADO1=∠CDB，∠O1AB=∠O1CB，
又∵∠AO1D=180°-∠ADO1-∠O1AB，∠ABC=180°-∠CDB-∠O1CB，
∴∠AO1D=∠ABC，
∵∠AO1D=2∠ABE，
∴∠ABC=2∠ABE，
∴BE平分∠ABC．