Question

已知如图，抛物线t=ax²+bx+c与x轴相交于B（1，0）、C（4，0）两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于N，交⊙P于D．
（1）填空：A点坐标是______，⊙P半径的长是______，a=______，b=______，c=______；
（2）若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N点的坐标；
（3）若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．

Answer

（1）先将B、C两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；
（2）根据S△BNC：S△AOB=15：2求出N点的y坐标，将yN代入抛物线方程即可求得N点坐标；
（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得MB•MD的值．
【解析】
（1）将B（1，0）、C（4，0）两点坐标代入抛物线t=ax2+bx+c得：

解得            ①
由题意可知：PA=PB=PC，且PA⊥y轴，
设P点坐标为P（2.5，yA ），由题意可知PA=PB=PC=2.5，
根据勾股定理可求得yA=2，
∴A点坐标是（0，2），⊙P半径为的长为2.5，
将A点坐标代入抛物线方程可得2=c，
联立①式便可解得a=0.5，b=-2.5，c=2．
∴抛物线的方程为t=0.5x2-2.5x+2，
故答案为：（0，2），2.5，0.5，-2.5，2；

（2）S△BNC：S△AOB===，
解得yN=5，
将yN=5代入抛物线的方程t=0.5x2-2.5x+2得：x1=-1，x2=6，
观察图形可知x2=6符合题意，
∴N点的坐标为N（6，5）；

（3）由题意可知△AOB∽△DBA，，
∵OA=2，OB=1，
由勾股定理可知AB=，根据三角形相似可知BD=2，
由射影定理可知：AB2=MB×BD，
，
解得MB=，MD=MB+BD=，
∴MB•MD=×=．