Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD交AB的延长线于D，∠DCB=∠CAB．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若CD=4，BD=2，求⊙O的半径长．

Answer

（1）要证CD为⊙O的切线，只要证明OC⊥CD即可，由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，只要∠DCB=∠ACO，由半径及已知∠DCB=∠CAB可得答案；
（2）可设出半径，用半径表示出OD，在直角三角形OCD中，利用勾股定理可求得半径的值．
（1）证明：∵∠DCB=∠CAB，∠CAB=∠ACO，
∴∠DCB=∠ACO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠OCB=90°
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°
∴CD为⊙O的切线；

（2）【解析】
设⊙O的半径为R，则OD=R+2，
∵CD=4，BD=2，∠OCD=90°，
由勾股定理得R2+42=（R+2）2，
解得：R=3，
∴⊙O的半径长为3．