Question

已知二次函数图象的对称轴为直线x=2，经过两点（0，3）和（-1，8），并与x轴的交点为B、C（点C在点B左边），其顶点为点P．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如果直线y=x向上或向下平移经过点P，求证：平移后的直线一定经过点B；
（3）在（2）的条件下，能否在直线y=x上找一点D，使四边形OPBD是等腰梯形？若能，请求出点D的坐标；若不能，请简要说明你的理由．

Answer

（1）先根据二次函数图象的对称轴为直线x=2，设出解析式，再根据抛物线经过点（0，3）和（-1，8），求出自变量，即可得到二次函数的解析式；
（2）求出平移后经过P点直线的解析式，而B点坐标已知，代入解析式正好符合，可证平移后的直线一定经过点B；
（3）在四边形OPBD是等腰梯形且D在y=x这条直线上时，作如图所示辅助线，用勾股定理求出D点坐标．
【解析】
（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+m，
∵抛物线经过点（0，3）和（-1，8），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y=（x-2）2-1=x2-4x+3；

（2）抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点为B（3，0）、C（1，0），
顶点为P（2，-1）．
由题意，设平移后直线为y=x+b，
由已知，-1=2+b，
解得b=-3．
∴直线y=x平移后经过点P的直线为y=x-3，
当x=3时，y=0．
∴直线y=x-3经过点B（3，0）；

（3）如图，过点D作DM⊥x轴于点M，过点P作PN⊥x轴于点N．
在Rt△ONP中，OP2=ON2+PN2=5．
∵点D在直线y=x上，
∴设点D的坐标为（x，x）．
在Rt△BDM中，BD2=BM2+DM2=（3-x）2+x2
由OP2=BD2得，
（3-x）2+x2=5，
解得x1=2，x2=1．
当x=1时，四边形OPBD为平行四边形，舍去．
∴x=2．
∴点D的坐标为（2，2）．