Question

如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．
（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系，请证明你的猜想；
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AC=BC=4，设△EFP平移的距离为x，当0≤x≤8时，△EFP与△ABC重叠部分的面积为S，请写出S与x之间的函数关系式，并求出最大值．

Answer

（1）根据图形就可以猜想出结论．
（2）要证BQ=AP，可以转化为证明△BCQ≌△ACP得出BQ=AP；
（3）设△EFP平移的距离为x，当0≤x＜4时，，当4≤x≤8时，，解得x即可．
【解析】
（1）猜想：BQ=AP．
证明：由题意可知EF⊥FP，又EF=FP，
所以∠EPF=45°，
所以QC=CP，又∠BCQ=∠ACP=90°，AC=BC，
所以△BCQ≌△ACP，
得出BQ=AP；

（2）BQ=AP．
证明：∵∠EPF=45°，AC⊥CP，
∴CQ=CP，
又∵BC=AC，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴BQ=AP；

（3）当0≤x＜4时，，
当4≤x≤8时，，
当0≤x＜4时，x=-=时，S的最大值为；
当4≤x≤8时，根据对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴x=4时，S的最大值为4．
∴当x=时，S的最大值为．