Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，4）、B（2，4），它的最高点纵坐标为，点P是第一象限抛物线上一点且PA=PO，过点P的直线分别交射线AB、x正半轴于C、D．设AC=m，OD=n．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标及n关于m的函数关系式；
（3）连接OC交AP于点E，如果以A、C、E为顶点的三角形与△ODP相似，求m的值．

Answer

（1）已知抛物线的顶点纵坐标以及对称轴，根据待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）首先求得A点的坐标，P的纵坐标是A的纵坐标的一半，即可求得P的纵坐标，代入二次函数解析式即可求得P的坐标；
（3）分△ACE∽△ODP和△ACE∽△OPD，两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得m的值．
【解析】
（1）设函数解析式为，
解出，
∴；

（2）求出点P的坐标为（3，2），
由梯形中位线定理得，AC+OD=3×2=6，m+n=6，
∴n=6-m（0≤m≤6）；

（3）方法一：①当△ACE∽△ODP时（如图1），∠ACO=∠ODP，
∵AB∥x轴，∴∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠ODP，OC=CD，又CF⊥OD，∴AC=OF=OD，
∴m=（6-m）解得：m=2
②当△ACE∽△OPD时（如图2），∠ACO=∠OPD，∵∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠OPD，可得△OPD∽△COD，可得OD2=DP•DC，
即OD2=CD2=（6-m）2=（）2，解得：m=
方法二：得出AE=
1当△ACE∽△ODP时，可求出m=2
②当△ACE∽△OPD时，可求出m=．