Question

如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线．在上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连接BD，交CE于点F．
（1）当点C为的中点时（如图1），求证：CF=EF；
（2）当点C不是的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．

Answer

（1）由题意得DA⊥AB，点E为半圆的圆心，DC⊥EC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF；
（2）连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，∠DAC=∠DCA，再由角度代换关系可得出∠DGC=∠DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥AP，所以，即可知CF=EF．
证明：（1）∵DA是切线，AB为直径，
∴DA⊥AB．
∵点C是的中点，且CE⊥AB，
∴点E为半圆的圆心．
又∵DC是切线，
∴DC⊥EC．
又∵CE⊥AB，
∴四边形DAEC是矩形．
∴CD∥AO，CD=AD．
∴=．
即EF=AD=EC．
∴F为EC的中点，CF=EF．

（2）CF=EF，
证明：连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，如图所示：
∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA，
∴∠DAC=∠DCA．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACG=90°．
∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°．
∴∠DGC=∠DCG．
∴在△GDC中，GD=DC．
∵DC=DA，
∴GD=DA．
∵AP是半圆O的切线，
∴AP⊥AB，又CE⊥AB．
∴CE∥AP．
∴．
∵GD=AD，
∴CF=EF．