Question

已知：如图，OA与oB外切于点C，DE是两圆的一条外公切线，切点分别为D、E．
（1）判断△DCE的形状并证明；
（2）过点C作CO⊥DE，垂足为点O，以直线DE为x轴、直线DC为y轴建立直角坐标系，且OE=2，OD=8，求经过D、C、E三点的抛物线的函数解析式，并求出抛物线的顶点坐标；
（3）这条抛物线的顶点是否在连心线AB上？如果在，请你证明；如果不在，说明理由．

Answer

（1）过C点作⊙A与⊙B的内公切线交DE于F，可得出FC=FD，FC=FE，则△DCE是直角三角形；
（2）可证明△DOC∽△COE，则OC2=OD•OF=16，可求出C点坐标（0，4），设经过D、C、E三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c或者y=a（x-x1）（x-x2），把D（-8，0），E（2，0），C（0，4）代入即可解得解析式，从而求出顶点坐标；
（3）连接AD、BE，过B点作BG⊥AD于G，设⊙A半径为R，⊙B半径为r，由AD∥CO∥BE，得AC：CB=DO：OE=4：1，在Rt△AGB中，根据勾股定理可求得r．即可得出A点坐标，B点坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），把抛物线顶点坐标代入直线的解析式，从而判断出抛物线的顶点P在连心线AB上．
【解析】
（1）△DCE是直角三角形，
过C点作⊙A与⊙B的内公切线交DE于F，则FC=FD，FC=FE，
∴FC是△CDE的中线，且FC=DE，
∴△DCE是直角三角形，∠DCE=90°；

（2）在Rt△DCE中，CO⊥DE于O点，△DOC∽△COE，
∴OC2=OD•OF=16，OC=4，C点坐标（0，4），
设经过D、C、E三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c或者y=a（x-x1）（x-x2），
把．D（-8，0），E（2，0），C（0，4）代入解析式，
解得：y=-x2-1.5x+4，
∴顶点坐标是（-3，）；

（3）答：抛物线的顶点在连心线AB上．证明如下：
连接AD、BE，过B点作BG⊥AD于G，设⊙A半径为R，⊙B半径为r，
∵AD∥CO∥BE，
∴AC：CB=DO：OE=4：1
在Rt△AGB中，AB2=AG2+BG2，
∴r=R=10，
．∴A点坐标（-8，10），B点坐标（2，2.5），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
解得y=-x+4，
把抛物线顶点坐标（-3，）代入直线的解析式，
左边=右边=，
∴抛物线y=-x2-1.5x+4的顶点P（-3，）在连心线AB上．