①连接DO,利用园中角定理以及垂径定理求出即可;
②利用相似三角形的性质,面积比等于相似比的平方求出即可;
③利用弧长计算公式求出即可;
④根据菱形的判定得出即可.
【解析】
①连接DO,
∵AO是半圆直径,
∴∠ADO=90°,
∵OD⊥AC,
∴AD=DC,
∴①正确.
②∵O′E∥AC,
∴△EO′O∽△AOC,
∴=,
∴S△O′OE=S△AOC,
∴②错误.
③∵OD⊥AC,AD=DC,
∴∠AOD=∠DOC,
∴∠AO′D=∠AOC,
AO=2AO′,
∴;
∴③正确;
④∵D为AC中点,O′为AO中点,
∴DO′是△AOC中位线,
∴DO′∥CO,
∵O′E∥AC,
∴O′为AO中点,
∵D为AC中点,
∴DE∥AO,
∴四边形DO′OE是平行四边形,
∵DO′=O′O,
∴四边形O′DEO是菱形.
∴④正确.
综上所述,只有①③④正确.
故答案为:①③④.