Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，已知∠POE=2∠CAB，∠P=∠E．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若BD=20D，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值．

Answer

（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，又∠POE=2∠CAB，则∠COD=∠EOD，根据等腰三角形的性质得∠ODC=∠ODE=90°，即CE⊥AB；
（2）由CE⊥AB，∠P=∠E，得到∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，得到∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（3）设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，易证得Rt△OCD∽Rt△OPC，根据相似三角形的性质得OC2=OD•OP，即（3x）2=x•（3x+9），解出x，即可得圆的半径；
同理可得PC2=PD•PO=（PB+BD）•（PB+OB）=162，可计算出PC，然后在Rt△OCP中，根据正切的定义即可得到tan∠P的值．
（1）证明：连接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
又∠POE=2∠CAB．
∴∠COD=∠EOD，
又∵OC=OE，
∴∠ODC=∠ODE=90°，
即CE⊥AB；

（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，
又∠OCD=∠E，
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；

（3）【解析】
设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，
∵CD⊥OP，OC⊥PC，
∴Rt△OCD∽Rt△OPC，
∴OC2=OD•OP，即（3x）2=x•（3x+9），
解之得x=，
∴⊙O的半径r=，
同理可得PC2=PD•PO=（PB+BD）•（PB+OB）=162，
∴PC=9，
在Rt△OCP中，tan∠P==．