Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，点P从A点出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．
（1）分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？
（3）在（2）的条件下，设线段PQ与梯形ABCD的中位线EF交于O点，那么OE与OF的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？（只要求说出条件，不需证明）

Answer

（1）当AP≤12时，只是△AQP的面积，当AP＞12时，为一三角形加一平行四边形的面积，所以分情况讨论．
（2）中先求出梯形的总面积，因为总面积的一半大于AP≤12时的最大面积，所以只能是第二种情况．
（3）可利用中位线，平行四边形求出OF，再与OE比较大小．
【解析】
（1）等腰梯形中，∠A=∠D，因为PQ∥DC，所以QP=AQ，
当x≤12时，SAQP=x×x=x2，
当x＞12时，S梯形=SABP+S平行四边形=48+（x-12）×8，
所以；

（2）
过C作CT⊥AD于T，过B作BH⊥AD于H，
即∠CTD=∠BHA=90°，CT∥BH，
∵BC∥AD，
∴四边形CBHT是平行四边形，
∴BC=TH=8，
∵等腰梯形ABCD，
∴CD=AB，BC∥AD，∠D=∠A，
在△CTD和△BHA中
，
∴△CTD≌△BHA，
∴CT=BH，DT=AH=（20-8）=6，
由勾股定理得：CT=BH=8，
S梯形=×（BC+AD）×CT=（8+20）×8=112，
当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，
即48+（x-12）•8=56，
解之得，x=13．

（3）如图所示，
①过点B作BM∥PQ，
由（2）得，PD=7=OE，在△ABM中，FN=AM=6，ON=PM=1，所以OF=7=OE．
研究发现，当直线L经过梯形中位线的中点且与较短的底（上底）相交时，它一定平分梯形的面积．