Question

已知，如图，△ABC的角平分线AP交它的外接圆于P，交BC于D，过点P作PE∥AB交圆于E．
求证：（1）AC=PE；（2）PB²=PD•PA．

Answer

（1）证明两条弦相等，即可转化为证明其所对的弧相等；
（2）利用上题证得的相等的圆周角证明△PBD∽△PAB后即可得到等积式．
证明：（1）∵PE∥AB，
∴
∴∠BAP=∠APE，
∵△ABC的角平分线AP交它的外接圆于P，交BC于D，
∴∠CAP=∠BAP
∴∠CAP=∠APE，
∴，
∴，
∴AC=PE；

（2）∵∠CBP=∠BAP，∠BPA=∠BPA，
∴△PBD∽△PAB，
∴PB2=PD•PA．