作梯形的两条高,构造了一个矩形和两个直角三角形.根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ACD,即CD=AD=5.再根据锐角三角函数的概念得到AE:BE,结合勾股定理得到BE:AB=3:5,从而求得BE的长,再进一步计算出CF和EF的长.
【解析】
如图,
∵AC平分∠BCD,
∴∠1=∠2.
∵AD∥BC,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴AD=DC.∵AD=5,AB=DC,
∴AD=DC=AB=5.
过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F.
∴∠AEB=90°.
在Rt△AEB中,
tanB==.
设AE=4x,则BE=3x.
∵AB=5,
∴(3x)2+(4x)2=52.
∴x=1(负值舍去).
∴AE=4,BE=3.同理可得FC=3.
∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴AE∥DF.
∵AD∥BC,
∴四边形AEFD是平行四边形.
∴EF=AD=5.
∴BC=11.