Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是的中点，DP⊥AC，垂足为点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若AC=6，cosA=，求PD的长．

Answer

（1）连接OD，AD．由于D是弧BC中点，易知弧CD=弧BD，即可得∠1=∠2，利用圆周角定理可知∠2=∠BOD，易证∠PAB=∠BOD，从而可判定PA∥DO，而∠P=90°，易求∠ODP=90°，从而可证DP实切线；
（2）连接CB交OD于点E，由于AB是直径，可知∠ACB=90°，结合（1）中的内容，易证四边形CEDP是矩形，于是DP=CE，∠CED=90°，即OD⊥CB，而OD∥AP，OA=OB，利用平行线分线段成比例定理的推论，可证CE=BE，在Rt△ABC中，
根据AC=6，cosA=，可求AB，再利用勾股定理可求BC，从而可求DP．
（1）证明：如图：连接OD，AD．
∵D为弧BC的中点，
∴弧CD=弧BD．
∴，
∵，
∴∠PAB=∠BOD，
∴PA∥DO，
∵DP⊥AP，
∴∠P=90°，
∴∠ODP=∠P=90°，
即OD⊥PD，
∵点D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线；

（2）连接CB交OD于点E．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=∠ECP=90°，
∵∠ODP=∠P=90°，
∴四边形PCED为矩形，
∴PD=CE，∠CED=90°，
∴OD⊥CB，
∴EB=CE，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴cosA=，
∵AC=6，cosA=，
∴AB=10，
∴BC=8，
∴CE=PD=BC=4．