Question

已知关于x的方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0…①的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0…②的两个实数根x₁，x₂之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

本题先要从第一个方程的判别式及有一个根为0出发，确定实数m的值，然后将m的值代入第二个方程并将其化简，再利用根与系数的关系根据题意看看能否找出k的值．
【解析】
把x=0代入得m2-2m-3=0．
解得m=3或-1．
∵方程有两个不相等实数根．
∴[-2（m+1）]2-4×（m2-2m-3）＞0．
解得m＞-1．
∴m=3．
∵x1，x2之差的绝对值为1．
∴（x1-x2）2=1．
∴（x1+x2）2-4x1x2=1．
（k-3）2-4（-k+4）=1．
解得k1=-2，k2=4．
∵当k=-2时，△=[-（k-3）]2-4（-k+4）
=k2-2k-7
=（-2）2-2×（-2）-7
=1＞0
当k=4时，△=k2-2k-7=42-2×4-7=1＞0．
∴存在实数k=-2或4，使得方程②的两个实数根之差的绝对值为1．