Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴DP交x轴于Q点，已知P（1，-2），且线段AB=4，tan∠ODP=．
（1）求D点的坐标．
（2）求抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式．
（3）在抛物线上是否存在点M（D点除外），使S_△DOP=S_△MOP？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据三角函数即可求出D点的坐标．
（2）根据顶点式，由待定系数法求出抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式．
（3）过D点作ED∥PO交y轴于E点，过E作EN⊥PO于N．过M点作直线与PO平行交y轴于F点，使其与PO之间的距离为．根据S△DOP=S△MOP列出方程组求解即可．
【解析】
（1）依条件得：，∴DQ=4（1分）
∴D（1，4）（3分）

（2）∵AB=4，∴BQ=2，OB=1∴B（-1，0）
依题意可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4（4分）
把B（-1，0）代入y=a（x-1）2+4得a=-1，（5分）
∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4（6分）

（3）过D点作ED∥PO交y轴于E点，过E作EN⊥PO于N．
∵，∴
又Rt△ENO∽Rt△PHO
∴，
∴OE=6
又直线yOP=-2x（7分）
过M点作直线与PO平行交y轴于F点，使其与PO之间的距离为．
此时S△DOP=S△MOP．∴yED=-2x+6，yFQ=-2x-6．
∴或
解得：，，，
∵M与D不重合
∴存在M点的坐标分别为：．（10分）